Родился 28 марта 1933 года в семье инженера. Настоящая фамилия будущего режиссера — Рабинович. В 1937 году мать Александра была арестована по доносу сослуживцев и провела десять лет в лагерях. Ребенку это время казалось «счастливым»: теперь отец не задерживался на работе, а читал ему по вечерам книжки.
В 1930-1940-е годы были арестованы практически все братья и сестры родителей Митты, мужчин расстреляли. Режиссер вспоминал, что «дом ударников» в Москве, где он вырос, можно было смело называть «домом сирот» — настолько плотно репрессии коснулись его окружения. Отца Митты спас от ареста директор завода ЗИС Иван Лихачев.
Мать режиссера, вернувшись из лагеря, была вынуждена поселиться под Тулой, в разлуке с семьей. Она умерла в 43 года. Во время войны сам Александр Наумович жил в детском доме в Саратове. После возвращения в Москву некоторое время он учился в ЦХШ, но откуда его исключили за увлечение абстрактной живописью. Воспитанием мальчика занималась тетя. Двоюродные братья и сестры Митты по окончании учебы были сосланы как члены семей врагов народа. По совету родственников, Митта поступил в Архитектурный институт, чтобы иметь в лагере «выгодную» специальность. Он учится на курсе архитектора Константина Мельникова.
Угроза разделить судьбу члена семьи репрессированного миновала после смерти Сталина. Перед студентом открылись невозможные ранее пути. Окончив институт в 1955 году, Митта поступает на режиссерский факультет ВГИКа (мастерская Александра Довженко, который говорил студентам: «Стыдно делать „среднее“ кино»). Затем переходит в мастерскую Михаила Ромма, учится вместе с Андреем Тарковским и Василием Шукшиным. Во время учебы он работает иллюстратором в разных изданиях, рисует карикатуры для журнала «Крокодил». Именно там редактор предложит ему работать под псевдонимом, потому что «карикатурист Рабинович — это уже слишком». Будущий режиссер берет фамилию одного из родственников со стороны матери. В 26 лет Митта женится на Лилии Майоровой, художнике-графике, изобретателе книжек-«раскладушек» для детей. В браке рождается сын Евгений, снявшийся в детстве в нескольких картинах отца, а затем избравший карьеру художника.
Митта вспоминает учебу во ВГИКе в конце 1950-х как время надежд. Студенты увлечены итальянским, французским, американским новым кино, и хотят осовременить кино отечественное. После многолетнего застоя для режиссеров-дебютантов выходит фильм Марлена Хуциева «Весна на Заречной улице», и вскоре сам Митта, как и другие его однокурсники, играет в эпизоде нового фильма Хуциева «Застава Ильича».
В 1961 году Митта вместе с Алексеем Салтыковым снимает ленту «Друг мой, Колька!». Картина стала одним из первых советских фильмов о конфликте подростков с взрослыми и учителями, а также внутри школьного коллектива — теме, столь важной для советского кино последующих лет. Дебют режиссеров заметили на Международном фестивале в Лондоне. Через год выходит детская приключенческая комедия «Без страха и упрека», на этот раз полностью снятая Миттой. Он выступает одним из авторов альманаха «Большой фитиль», а в 1965 году ставит «Звонят, откройте дверь» по сценарию Александра Володина. Фильм, в котором маленькая девочка играет взрослую драму неразделенной любви, кроме советской публики, оценила и европейская критика: Митта получил «Золотого льва» на фестивале детского кино в Венеции. Приз чрезвычайно престижный, но режиссеру уже тесно в рамках «подросткового кино». Он вернется к нему только один раз: спустя семь лет снимет фильм «Точка, точка, запятая».
В 1966 году Митта вновь снимается у Хуциева в «Июльском дожде». Хуциев же сыграет в следующей картине режиссера, «Гори, гори, моя звезда» (1969). Митта впервые сам пишет сценарий к своему фильму — трагикомедии о театральном режиссере, который пытается привлечь к новому искусству жителей украинского городка в годы Гражданской войны. Лента под названием «Комедия об Искремасе» посвящалась памяти Мейерхольда, а прототипом художника, персонажа Олега Ефремова, был Марк Шагал. Ни того ни другого нельзя было упоминать в советском кино. Первый вариант фильма был закрыт, чему способствовал и спор Митты с Роланом Быковым, изначально приглашенным на главную роль. Поскольку сценарий был утвержден, Митта смог возобновить съемки, на этот раз с Олегом Табаковым в роли Искремаса. По словам режиссера, цензоры забыли, что разрешенное новое название фильма «Гори, гори, моя звезда» — из русского романса, который был запрещен в первые годы советской власти как «белогвардейский».
Митта сознательно соглашается, насколько это возможно, с советскими чиновниками ради воплощения своего замысла. «И в том же фильме „Гори, гори, моя звезда“ мне запрещали одно, запрещали другое, а я делал то же самое, но вроде бы на их языке, и им справиться со мной было невозможно», — вспоминал режиссер. Он говорил, что некоторые его коллеги — Элем Климов, Александр Аскольдов, прежде всего Тарковский — идти на компромиссы не хотели и «оставались без работы». Митта противопоставлял свою стратегию максималистскому «мессианству» современников.
«Вот у кого удивительно сочеталось рациональное начало с каким-то спонтанным, каждый раз неожиданным творческим выплеском, — вспоминал Армен Медведев. — В нем работал именно архитектор, конструктор, он свои решения конструировал и не стеснялся этого совершенно». В 1970-е годы режиссеру становится тесно в рамках определенного жанра. После экспериментов в детском и авторском кино, он обращается к жанру мелодрамы, который безоговорочно презирало его окружение во ВГИКе. Советско-японский фильм «Москва, любовь моя» рассказывал о краткой влюбленности и смерти балерины из Японии в России. Когда картина с грандиозным успехом прошла в Японии, Митта узнает от режиссера Сацуо Ямамото понятие «формула успеха» — фактор, приносящий популярность тому или иному фильму, независимо от таланта съемочной группы или затраченных усилий. С тех пор Митта утверждается во мнении, что отечественному кинематографу недостает фильмов, рассчитанных на кратчайший эмоциональный отклик, зрительское узнавание и любовь. «Сказ про то, как царь Петр арапа женил» (1976) соединял черты мелодрамы и приключенческого исторического фильма. Расчет на зрителя оправдался: роль Арапа осталась одной из самых известных в фильмографии друга Митты, Владимира Высоцкого. При этом сочиненные им песни в картину не вошли. Начиная с этого фильма Митта постоянно работает с композитором Альфредом Шнитке.
Триумф у зрителя принесла режиссеру картина «Экипаж» (1979), первый советский фильм-катастрофа. Лента сильно пострадала от цензуры. Митта считал, что мелодраматические истории из жизней двух пилотов и бортинженера во второй части фильма превращались в сказочную историю, где персонажи, «как три богатыря», противостоят стихии хаоса, уничтожающей самолет, подобно огнедышащему дракону. Госкино рассчитывало увидеть не «сказку», а фильм о трудовом подвиге советских летчиков. Митту уговорили вырезать финал фильма с умирающим старым командиром, героем Жженова — это могло бы не понравиться престарелому Брежневу. О не увидевшем свет финале режиссер впоследствии жалел. Под ножницы попала и одна из первых в советском кино эротических сцен. Все это никак не сказалось на небывалом ажиотаже зрителей: «Экипаж» в первый год проката посмотрело более 70 миллионов человек, фильм стал одним из самых кассовых фильмов в советской истории.
В 1980-е годы Митта снимает притчу «Сказка странствий» с Андреем Мироновым и второй в своей биографии советско-японский фильм «Шаг» — драму на медицинскую тему. Режиссер продолжает пробовать себя в разных жанрах, но эти фильмы не были так популярны у публики, как предыдущие. В 1990 году Митта вместе с Эдуардом Володарским пишет сценарий фильма «А в России опять окаянные дни» о сталинских лагерях. В том же году сам режиссер ставит фильм «Затерянный в Сибири», драму об английском археологе, по ошибке захваченном советскими спецслужбами в Иране и отправленном в лагерь «за шпионаж». Советско-британский фильм был номинирован на «Золотой глобус» как лучший фильм на иностранном языке, но оказался не оценен на родине. Позднее Митта жалел, что не сделал главного героя евреем, как хотел первоначально, что придало бы фильму дополнительную актуальность. С ним согласен Андрей Плахов, назвавший Митту «нашим Спилбергом», который вынужден был перестать снимать. Митта уходит из кино на десять лет. В 1991-1993 годах он преподает в Гамбургской киношколе и читает лекции по всему миру. В 1999 году выходит его книга «Кино между адом и раем: кино по Эйзенштейну, Чехову, Шекспиру, Куросаве, Феллини, Хичкоку, Тарковскому...». Книга о драматургии кино и тонкостях производства выдержала несколько изданий, став неофициальным учебником сценаристов. Вернувшись в Россию, Митта открывает киношколу, где существуют курсы сценаристов, режиссеров, актеров и операторов.
В 2001 году Митта, первым из известных советских режиссеров, снимает телесериал. Восьмисерийный фильм «Граница. Таежный роман» с большим успехом идет по государственным каналам. Режиссер сравнивал сериальную форму с романом, поскольку она позволяет делать развернутые высказывания. «Мы придем к пониманию, что вся история кино — это была история рассказов и новелл, а вот пошла настоящая литература в кино, пошло длинное кино. Сейчас — стадия становления», — говорит режиссер. В 2000-е годы выходят еще два сериала Митты: «Раскаленная суббота» и «Лебединый рай». В это же время он делает документальные фильмы о Леониде Филатове, Олеге Ефремове, Евгении Леонове и других артистах, с которыми сотрудничал в течение нескольких десятков лет.
В 2013 году режиссер ставит фильм «Шагал — Малевич» — осмысление короткого периода сотрудничества двух художников после революции, возвращаясь к авторскому кино и отчасти продолжая тему картины «Гори, гори, моя звезда». Митта смог открыто показать самого Шагала и его живописный мир на экране, а также показать жизнь еврейской общины в России.
В 2016 году режиссер одобрил новую версию фильма «Экипаж», снятую Николаем Лебедевым, и сыграл в фильме эпизодическую роль. Митта продолжает преподавать в киношколе и планировать новые картины. Среди замыслов — фильм о Куликовской битве и о 1920-х годах. Он считает, что «нельзя снимать старое кино» и скептически относится к тому, что в киновузах преподают режиссеры, десятки лет не создававшие ничего заметного.
Андрей Гореликов